博弈论基础知识:，巴什博奕+斐波那契博弈+威佐夫博奕+尼姆...

博弈论是一种研究冲突和合作，以及如何作出最优决策的数学理论。它主要研究决策者在一些竞争环境中，如何通过变化策略和博弈机制来达到自己的目标。其中，巴什博奕、斐波那契博弈、威佐夫博奕、尼姆等都是博弈论中的一些典型问题。

一、巴什博奕

巴什博奕是一种基本的博弈论游戏，由数学家巴什首先提出。这个游戏中有一堆物品，两个玩家轮流取走其中的物品，每次取走的数量不能超过一定的规定数目。最后取走最后一个物品的人获胜。

巴什博奕的规则相当简单，但做到好像就有一点难度了。假设有14个石头，规定只能每次取1到4个，那么双方会采取怎么样的策略呢？

首先，要明确一个结论：如果石头的数量是$5n + 1$，那么先取的人总是会输。为什么呢？因为取到最后5个石头时，无论是先取的人还是后取的人都会全部取完，但后取的人肯定会取到最后一个，所以后取的人胜利。

那么，如果石头的数量是5n+2、5n+3、5n+4呢？此时先手可以分别取1、2、3个石头，然后每轮双方取的石头数加起来就是5，取到最后5个石头时，在任何情况下，后手都可以胜利。因此，在石头数量为5n+2、5n+3、5n+4时，先手都会胜利。

巴什博奕的本质在于找到没有更多技巧的胜利法则并使其自成体系。随着巴什博奕问题的不断升级，即取石头的数目规模不断扩大，巴什博奕问题最近被用于大量的计算机科学和人工智能研究中。

二、斐波那契博弈

斐波那契博弈的规则和巴什博奕类似，也是在一堆物品中两个玩家轮流取走物品，每次取走的数量不能超过一定的规定数目。但是，取走物品的数量规定为斐波那契数列中的一个数。斐波那契数列是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……，它的每一项都是前两项之和。

斐波那契博弈的败者是取走最后一件物品的人，斐波那契数列中的第一个数是的1，接下来的硬币数量就是1,2,3,5,8,13……根据斐波那契数列的特性，所有数都可以由前两个数得到，所以只需要记住前两个数就可以得出所有在其中的数。

到这里，问题是明确的：我们需要在斐波那契博奕中成为胜者，那么策略是怎么样的呢？

我们可以按照下面的方法来求解：

- 对于满足$F_0<=i<=F_1$，任何取法均能转化成后手获胜的情况，因为此时先手只能取到1枚硬币，转化成下一个状态，而后手的状态就是胜利状态。

- 如果在满足$F_m

例如：$21$颗硬币，我们可以在满足$13

三、威佐夫博弈

威佐夫博弈是一个非常经典的博弈论问题。它最初由爱尔兰国王威尔第·威佐夫（John W. W. Zeifeld）提出。这个游戏的规则大概是这样的：有两堆各含若干个物品的多堆石头，双方轮流取走若干个石头，每次取走的数量不能超过某个规定数目。最后取走最后一个石头的人获胜。

你也许已经猜到了，每一组威佐夫博弈问题都有一个特定的解决方案，两个玩家可以逐步逼近正确的位置，然后获胜的人只需要取走最后一颗石头即可。

总结起来，这种类型的博弈问题的关键在于找到获胜者选择哪个位置来坐到最好位置，使得另一个人追不上他，并进入获胜的位置，并且这个位置一般取决于两堆石头的大小。这种游戏最著名的实例是斐波那契数列，也可以套用到 Mary Poppins Money Puzzle 和 Hackenbush 等其他博弈中。

四、尼姆游戏

尼姆游戏是一个非常有趣的数学博弈问题。在这个游戏中，有几堆物品，每堆物品的个数是任意的，两个人轮流取走其中的任意数量的物品，可以取光一堆也可以跨堆取，但不能在同一堆里操作，最后取完所有物品的人胜利。

尼姆游戏的关键在于让自己永远处于必胜的状态中，这可以通过一种称为“尼姆和”的数学方法来计算。尼姆和就是将每堆石头的数量都转化为二进制下的数，然后将每一位上的数字相加，最后得到的和就是尼姆和。如果两个人在某一步的尼姆和相同，那么当场先取后取的人就必败。

在尼姆游戏中，我们需要特别关注两件事：首先，我们需要确认初始状态是什么。这个最好通过尼姆和计算。然后，我们要找出先手的最优策略。如果它的数量等于零，那么它就摆脱了。

以上就是博弈论中的一些经典问题的详细介绍。这些问题虽然看似简单，但背后蕴含的数学原理和算法都非常丰富和复杂，是数理逻辑和思维训练的好材料。

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