最小生成树之克鲁斯卡尔(kruskal)算法

1. 前言

最小生成树(MST)问题是图论中一个经典问题，通常有Kruskal算法、Prim算法、Boruvka算法等多种求解方法。

本文将介绍Kruskal算法，包括其定义、基本思路、实现步骤、时间复杂度分析和应用案例等内容。

2. 定义

最小生成树问题：给定一个无向连通带权图G=(V,E)，求一棵生成树T，使得T中的所有边权之和最小。

生成树：一个无向连通图的生成树是这个图的一个子图，它是一棵树(即无回路的连通图)，且包含原图的所有顶点。

3. 基本思路

Kruskal算法的基本思路：从边集E中取出权值最小的边，如果该边的两个端点不在同一个连通分量中，则将它们合并起来，直到最终只剩下一个连通分量为止。

具体可以用并查集来判断两个端点是否在同一个连通分量中，用一个变量cnt来记录当前连通分量的个数。

4. 实现步骤

Kruskal算法的具体实现步骤如下：

（1）将边集E按照边权从小到大排序。

（2）从边集E中取出一条权值最小的边(u,v)，判断u和v是否在同一个连通分量中。

（3）如果u和v不在同一个连通分量中，则将它们合并起来，并将这条边加入最小生成树的边集中。

（4）如果有(cnt-1)条边加入了最小生成树的边集中，则结束算法，输出最小生成树。

5. 时间复杂度分析

对于n个点和m条边的无向图，Kruskal算法的时间复杂度为O(mlogm)。

排序的时间复杂度为O(mlogm)，并查集的时间复杂度为O(logn)，因此总时间复杂度为O(mlogm)。

6. 应用案例

Kruskal算法可以用来解决最小生成树问题，例如：公路修建、网络布线等问题。

下面以公路修建问题为例：

有一个城市群，其中有n个城市，现在要修建公路将这些城市连接起来。已知任意两个城市之间修建一条公路所需要的费用，现在求解将所有城市连接起来，所需的最小费用。

解决方法：将每一对城市之间修建公路的费用看作一条边，构成一个带权无向图，然后使用Kruskal算法求解最小生成树，最终得到的边集就是要修建的公路。

7. 总结

Kruskal算法是一种求解最小生成树问题的有效方法。它的基本思路是从边集中选取边权最小的边，判断是否能将它的两个端点连通起来，若不会形成环则将其加入最小生成树中。由于排序和并查集的复杂度都是log级别的，所以该算法的时间复杂度为O(mlogm)，在实践中具有良好的效果。

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