Floyed(floyd)算法详解

Floyd算法是一种用于寻找图中所有点对之间最短路径的算法。该算法的时间复杂度为O(N^3)，其中N为图中点的数量。Floyd算法的实现相对简单，易于理解，可以应用于不同类型的有向图和无向图，以及不同权重类型的图，例如负权重边。本文将详细介绍Floyd算法的原理、使用方法和案例说明。

一、Floyd算法的原理

Floyd算法采用动态规划的思想，从图中每一个点i到每一个点j的路径长度按序逐步增加来计算最短路径。算法的核心是一个NxN的矩阵D[k]，其中D[i][j]表示从点i到点j经过k次中间节点的最短路径长度。由此，可以用以下公式来更新矩阵D[k]：

$$

D[k][i][j] = \min(D[k-1][i][j], D[k-1][i][k] + D[k-1][k][j])

$$

其中，k表示中间节点的编号，i表示起点的编号，j表示终点的编号。更新的方式是，如果从i到j不经过k节点，那么路径长度就等于D[k-1][i][j]；如果从i到j经过k节点，那么路径长度就等于D[k-1][i][k] + D[k-1][k][j]。

二、Floyd算法的使用方法

Floyd算法的使用方法包括以下几个步骤：

1. 初始化矩阵D[0]。将D[0][i][j]赋值为图中i到j的路径长度。

2. 通过互相更新，计算矩阵D[k]，其中k从1到N-1。更新过程中，要保证从i到j的路径长度不会因为经过k节点而变长。

3. 输出矩阵D[N-1]，即为图中所有点对之间的最短路径长度。

三、Floyd算法的案例说明

下面给出一个简单的例子来说明Floyd算法的应用。

假设有一张6个节点的图，其邻接矩阵为：

```

0 2 7 - - -

2 0 1 4 2 -

7 1 0 - 8 5

- 4 - 0 3 -

- 2 8 3 0 6

- - 5 - 6 0

```

其中，-表示无法到达。现在要求出该图中所有点对之间的最短路径长度。

按照Floyd算法的步骤进行计算：

Step 1：初始化矩阵D[0]。将D[0][i][j]赋值为图中i到j的路径长度。

```

0 2 7 Inf Inf Inf

2 0 1 4 2 Inf

7 1 0 Inf 8 5

Inf 4 Inf 0 3 Inf

Inf 2 8 3 0 6

Inf Inf 5 Inf 6 0

```

Step 2：通过互相更新，计算矩阵D[k]，其中k从1到N-1。更新过程中，要保证从i到j的路径长度不会因为经过k节点而变长。

（1）当k=1时，更新矩阵D[1]：

```

0 2 3 6 4 Inf

2 0 1 4 2 Inf

3 1 0 5 3 5

6 4 5 0 3 Inf

4 2 3 3 0 5

Inf Inf 5 Inf 6 0

```

（2）当k=2时，更新矩阵D[2]：

```

0 2 3 6 4 10

2 0 1 4 2 8

3 1 0 5 3 5

6 4 5 0 3 9

4 2 3 3 0 5

10 8 5 9 6 0

```

Step 3：输出矩阵D[N-1]，即为图中所有点对之间的最短路径长度。

```

0 2 3 6 4 9

2 0 1 4 2 7

3 1 0 5 3 5

6 4 5 0 3 8

4 2 3 3 0 5

9 7 5 8 5 0

```

以上就是Floyd算法的详细介绍，包括原理、使用方法和案例说明。Floyd算法是一种寻找图中所有点对之间最短路径的经典算法，对于优化路网规划、图形识别等领域有着广泛的应用。

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