python用函数解决猴子吃桃

猴子吃桃是一个有趣的数学问题，它涉及到递归函数的使用。在这篇文章中，我们将介绍这个问题，并用Python编写一个递归函数来解决它。同时我们也会深入探讨递归函数的原理，以及它可以解决的其他数学问题。

问题描述

在一个架子上有一堆桃子，猴子第一天吃了其中的一半，然后多吃了一个。接下来每天都吃其中的一半，然后再多吃一个。请问，如果开始有n个桃子， 猴子吃到第10天时会剩下多少个桃子？

解决思路

我们可以定义一个递归函数来解决这个问题，每次递归分解成两个问题：

- 如果已知第n天还剩下了x个桃子，那么第n-1天还剩下了多少个桃子？

- 如果已知第n-1天还剩下了y个桃子，那么第n天还剩下了多少个桃子？

递归函数

现在，让我们来看一下Python代码，实现这个递归函数：

```python

def peaches(n):

if n == 1: # 对于第一天，直接返回1

return 1

else:

return 2 * peaches(n-1) + 2 # 根据题意递归计算

```

代码解析

- 第1行：定义函数peaches，接收一个整数n作为参数。

- 第2行：如果n等于1，即第一天，返回剩余的一个桃子。

- 第4行：如果n不等于1，则调用自身（即递归调用），计算第n-1天的剩余桃子数（即n-1作为参数传入递归函数peaches）。

- 第5行：根据题意，第n-1天的总桃数为第n天的剩余桃子数乘以2，再加上2（因为第n-1天又多吃了一个，要再加上来）。

检验

我们可以调用这个函数来对比答案：

```python

print(peaches(10)) # 输出第10天剩余桃子的数量

```

最终，我们得到的答案是1534。可以使用手算的方式进行验证。我们按照题目要求，倒推每一天的桃子个数，最终得到第10天的结果。如图所示：


得到的结果与我们编写的函数返回的结果一致，说明我们的递归函数能够正确求解这个问题。

递归函数的原理

递归函数是一种在函数内部调用自身的函数，当一个函数调用自身时就产生了递归调用。递归函数可以很方便地实现一些复杂的算法，如快速排序、二叉树的遍历等。但使用递归函数也有一些需要注意的问题。

如何写出正确的递归函数

- 明确递归函数的边界条件。对于递归函数我们需要清楚地知道何时应该终止它的迭代，否则会陷入死循环。

- 确定如何从一个更大的问题转化为一个规模更小的问题。在递归中，我们需要定义递归调用时用的参数，以便查询下一次递归调用使用的参数，同时也需要注意是否需要在某个点进行数据的更改，以便计算正确的结果。

- 确保每次递归调用得到的结果都是正确的。因为每次递归都是将规模更大的问题转化为规模更小的问题，如果每个子问题都能得到正确的结果，那么整个递归调用的结果就是正确的。

递归函数的效率

递归函数的效率通常比循环函数慢，因为递归函数每次递归调用要保留现场，函数返回时又要恢复现场，这样消耗的时间比较大。虽然python在设计上可以进行尾递归优化，但在一般情况下，递归调用还是很容易被递归深度影响。

递归函数的优化

- 尾递归优化。尾递归是指一个递归函数中，所有递归调用都出现在函数的最后一行。这种情况下可以把此递归函数转化为循环语句，这样可以省略调用栈，提高代码效率。

- 消除重复的计算。当我们递归调用一个函数时，并不是每次都需要处理全部的参数，有时会有一些参数缓存下来，当下一次需要计算时直接调用。

- 调整参数的顺序。有些递归函数调用时，参数的顺序可能并不是最优的，我们需要手动调整参数的顺序。

结论

递归函数是一个强大的工具，在编写递归函数时我们需要注意边界条件、处理规模更小的问题、确保每次递归调用的结果都是正确的。在一般情况下，递归调用的效率并不高，所以一般优先选择迭代循环来完成任务。

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