一篇文章讲透Dijkstra最短路径算法

Dijkstra最短路径算法是一种用于在加权图中寻找最短路径的算法。由荷兰计算机科学家Edsger W. Dijkstra在1956年提出并命名。这个算法的主要思想是通过逐步确定起点到各个顶点的最短路径来找到起点到终点的最短路径。Dijkstra算法的复杂度为O(V^2)，其中V是图的顶点数量。

Dijkstra算法的基本原理是通过不断扩展已找到的最短路径集合来找到最短路径。具体步骤如下：

1. 创建一个距离数组dist[]来保存起点到各个顶点的最短路径估计值，初始时将所有顶点的距离设为无穷大，将起点的距离设为0。

2. 创建一个标记数组visited[]，表示各个顶点的最短路径是否已经确定，初始时将所有顶点的标记设为false。

3. 循环以下步骤直至找到终点的最短路径：

a. 从未标记的顶点中选择距离起点最近的顶点u。

b. 标记顶点u为已访问。

c. 遍历顶点u的所有邻居v，计算新的最短路径估计值dist[v] = dist[u] + weight(u, v)，如果新的路径估计值小于dist[v]，则更新dist[v]。

4. 最终得到的dist数组即为起点到各个顶点的最短路径。

下面我们通过一个例子来进一步说明Dijkstra算法的具体过程。

假设我们有以下图：

A --5-- B

/ / \

2 3 4

| | |

C D E

其中，A、B、C、D、E分别代表图的顶点，数字表示边的权重。

我们以A为起点，计算起点到其余各个顶点的最短路径。

首先，初始时距离数组dist为[0, ∞, ∞, ∞, ∞]，标记数组visited为[false, false, false, false, false]。

1. 选取起点A作为当前顶点，更新起点到B和C的距离，此时距离数组dist为[0, 5, 2, ∞, ∞]。

2. 标记A为已访问，并选取当前距离最短的顶点C作为新的当前顶点。

3. 更新起点到D的距离，此时距离数组dist为[0, 5, 2, 5, ∞]。

4. 标记C为已访问，并选取当前距离最短的顶点B作为新的当前顶点。

5. 更新起点到E的距离，此时距离数组dist为[0, 3, 2, 5, 9]。

6. 标记B为已访问，并选取当前距离最短的顶点D作为新的当前顶点。

7. 更新起点到E的距离，此时距离数组dist为[0, 3, 2, 5, 9]。

8. 标记D为已访问，并选取当前距离最短的顶点E作为新的当前顶点。

9. 更新起点到E的距离，此时距离数组dist为[0, 3, 2, 5, 9]。

10. 标记E为已访问，算法结束。

最终得到的距离数组dist为[0, 3, 2, 5, 9]，表示起点A到各个顶点的最短路径。

Dijkstra最短路径算法的应用场景广泛，例如可以用于计算网络中两个节点之间的最短路径，也可以用于优化路线规划等问题。

总结来说，Dijkstra最短路径算法通过逐步更新起点到各个顶点的最短路径来寻找最短路径。它的基本思想是贪心法，每次选择当前距离起点最近的顶点作为新的当前顶点，并更新从起点到其邻居顶点的最短路径估计值。通过不断扩展已找到的最短路径集合，最终找到起点到终点的最短路径。

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